Mittelwert: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 26. Februar 2019, 15:11 Uhr

Dieses Diagramm zeigt das Taschengeld von fünf Kindern. Karl erhält sehr viel Geld, die anderen Kinder erhalten viel weniger und liegen ziemlich nahe beieinander. Im Durchschnitt erhält jedes Kind 8 Euro, da liegen aber vier Kinder darunter. Im Median liegt Tanja mit 5 Euro, das entspricht einem Großteil der Gruppe.

Der Mittelwert ist ein Begriff aus der Mathematik. Es geht darum, dass man aus mehreren Zahlen eine weitere erhält, die einem einen guten Überblick über eine ganze Gruppe verschafft.

Einen Mittelwert braucht man zum Beispiel um festzustellen, wie viel Geld die Menschen eines Landes verdienen oder wie alt sie werden. Man kann diese Zahl dann mit anderen Ländern vergleichen. Auch Leistungen zwischen Schulklassen werden gerne so verglichen. Es gibt fast unzählig viele Anwendungsbeispiele.

Es gibt auch viele verschiedene Mittelwerde. Meistens denkt man dabei entweder an den Median oder an den Durchschnitt. Beim Durchschnitt meint man meist das arithmetische Mittel. Es gibt aber auch noch das geometrische Mittel und viele andere mehr. Auf dem Bevölkerungsamt, bei Banken, Versicherungen und in vielen anderen Bereichen arbeitet man oft mit Mittelwerten. Zuerst muss man dann einmal festlegen, welchen Mittelwert man anwendet. Je nachdem bekommt man dann nämlich einen anderen Eindruck, die die nachfolgenden Beispiele gleich zeigen werden.

Zur Veranschaulichung dient das Diagramm hier rechts: Fünf Kinder erhalten Taschengeld. Karl erhält 22 Euro, Heike 6 Euro, Tanja 5 Euro, Otto 4 Euro und Ulrike 3 Euro. Karl ist also ein Ausreißer. Wir werden mal sehen, was das bewirkt.

Was ist der Durchschnitt und wie berechnet man ihn?

Wir nehmen mal an, mit Durchschnitt sei das arithmetische Mittel gemeint, denn es wird am häufigsten angewendet. Dafür rechnet man alle Geldbeträge zusammen und kommt auf 40 Euro. Diese Zahl teilt man durch die Anzahl der Kinder, also durch 5. Das Resultat ist 8 Euro, das ist der Durchschnitt.

So wird vieles berechnet, zum Beispiel das Durchschnittsalter aller Menschen in einem Land oder ihr durchschnittlicher Lohn. Allerdings kann diese Zahl auch in die Irre führen. In unserem Beispiel ist Karl ein Ausreißer. Man könnte meinen, ein Großteil der Gruppe hätte so um 8 Euro Taschengeld, das stimmt aber nicht. Der Durchschnitt ist also nicht immer die Größe, die den besten Überblick über eine Gruppe verschafft.

Ein Beispiel aus dem richtigen Leben ist der Reichtum der Menschen in einem Land. Manche Leute verdienen besonders viel Geld pro Jahr. Wenn man dann den Durchschnitt errechnet, könnte man meinen: Alle Leute im Land haben ziemlich viel Geld. In Wirklichkeit gibt es wohl viele Arme und viele nicht ganz so arme Menschen. Wegen der wenigen Reichen liegt der Durchschnitt aber recht hoch.

Was ist der Median und wie berechnet man ihn?

Darum errechnet man manchmal auch den Median. Bei diesem Mittelwert macht man es so: Man listet das Taschengeld aller Kinder der Größe nach auf. Dann zählt man das mittlere Kind ab. In unserem Fall ist dies Tanja mit 5 Euro Taschengeld. Heike und Otto liegen ganz in der Nähe und Ulrike ist auch nicht sehr weit davon entfernt. Die meisten Kinder liegen also mit ihrem Taschengeld nahe bei Tanja.

Karl ist ein Ausreißer. Wenn er die Gruppe verlässt, sinkt der Durchschnitt stark auf 4.50 Euro. Der Median liegt dann zwischen Tanja und Otto, also auch immer noch bei 4.50 Euro. Wenn aber ein anderes Kind die Gruppe verlässt, ändert sich nicht viel. Ein einzelner Ausreißer hat also sehr viel Einfluss auf den Durchschnitt, nicht aber auf den Median. Das ist für den Großteil der Kinder wichtig.

Im richtigen Leben ist dies ebenfalls sehr wichtig: In einem Land können zum Beispiel viele arme Bauern leben, die sehr wenig verdienen. Wenige Großgrundbesitzer verdienen jedoch sehr viel Geld. Gemäß dem Durchschnitt könnte man meinen, den Menschen gehe es recht gut. Im Median liegt jedoch ein armer Bauer, zusammen mit den meisten Menschen in diesem Land. Daran ändert sich auch nichts, wenn die Reichen noch reicher werden. Den Durchschnitt würde das aber sehr wohl verändern.