|
|
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| − | Bei einer Bruchrechnung wird mit Brüchen gerechnet. Brüche sind Zahlen, die auch ein Komma haben können. Das ist nützlich, wenn etwas geteilt oder gezählt werden soll, was sich mit ganzen Zahlen nicht beschreiben lässt. Beispielsweise die Größe einer Person, eine Geschwindigkeit oder wenn es darum geht, einen Kuchen oder andere Dinge zu teilen.
| + | [[File:Cake quarters.svg|mini|Dieser Kuchen wurde in vier Teile zerschnitten. Drei Viertel sind noch da. Ein Viertel fehlt.]][[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|mini|2 Viertel = 4 Achtel]]Bruchrechnung braucht man bei einer Teilung. Das ist nützlich, wenn etwas geteilt werden soll, was sich mit ganzen Zahlen nicht beschreiben lässt. Beispielsweise wenn es darum geht, einen Kuchen oder andere Dinge unter mehreren Menschen aufzuteilen. |
| | | | |
| − | Zunächst wird der Kuchen in 4 Kuchenstücke geteilt. Wichtig dabei ist, dass die Stücke gleich groß sind. Nun werden die 4 Stücke an 4 Personen verteilt. Jede einzelne Person hat also ein Stück von insgesamt 4 Stücken des ganzen Kuchens. In der Mathematik wird dazu gesagt, dass die Person "ein Viertel" des Kuchens hat. Wie groß ist der Anteil des Kuchens bei 2 Personen? <br />
| + | Den Bruch ½ kann man sich so denken, dass 1 Kuchen auf 2 Menschen verteilt wurde. Man kann sich aber auch vorstellen, dass 1 Kuchen in 4 Teile zerschnitten wurde und 1 Mensch hat 2 Teile bekommen. Oder der Kuchen wurde in 8 Teile zerschnitten und 1 Mensch hat 4 Teile erhalten. Dies zeigt das untere Bild. |
| − | <br />
| + | |
| − | Es wird gerechnet: 1 Kuchenstück von einer Person + 1 Kuchenstück von einer anderen Person = "ein Viertel + ein Viertel = zwei Viertel". Beide Personen zusammen haben also "zwei Viertel" des Kuchens, denn sie haben 2 Stücke von insgesamt 4 Stücken. Und wie groß ist der Kuchenanteil bei 3 Personen? "Ein Viertel + ein Viertel + ein Viertel = drei Viertel".
| + | |
| − | <gallery>
| + | |
| − | File:Cake_tootfarangi.jpg|Ganzer Kuchen
| + | |
| − | File:4_Kuchenst%C3%BCcke.png|4 Kuchenstücke
| + | |
| − | <gallery>
| + | |
| − | File:Ein_St%C3%BCck_%3D_ein_Viertel.png|1 Stück = 1 Viertel
| + | |
| − | File:Zwei_St%C3%BCcke_%3D_zwei_Viertel.png|2 Stücke = 2 Viertel
| + | |
| − | <gallery>
| + | |
| − | File:Drei_St%C3%BCcke_%3D_drei_Viertel.png|3 Stücke = 3 Viertel
| + | |
| − | </gallery>
| + | |
| | | | |
| | + | Den Bruch ¾ kann man sich auf zwei Arten denken: Entweder wurde 1 Kuchen in 4 Stücke aufgeteilt und ein Mensch hat davon drei Stücke bekommen. Oder 3 Kuchen wurden auf 4 Menschen aufgeteilt. |
| | | | |
| − | == Brüche allgemein ==
| + | Einen Spezialfall bildet der Dezimalbruch. Er ist eigentlich ein Zehnerbruch. Das Ganze wurde also in 10, 100, 1000 oder in eine noch grössere Zehnerzahl aufgeteilt. ½ heisst als Dezimalbruch 0,5 (man schreibt manchmal auch 0.5). Ein halber Liter beispielsweise entspricht 5 Deziliter oder eben 0,5 Liter. So steht es auf den Petflaschen. ¾ sind dann 0,75 und so weiter. |
| − | === Schreibweise ===
| + | |
| − | [[File:Gemeiner Bruch.svg|thumb]]
| + | |
| − | Ein Bruch wird in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ geschrieben. Das bedeutet, dass in dieser Reihenfolge untereinander geschrieben wird: zuerst der Zähler, darunter der Bruchstrich und unter diesem der Nenner. <br />
| + | |
| − | Abgebildet ist der Bruch drei Viertel, der aus dem oberen Beispiel wieder zu erkennen ist. Die 3 im Zähler entspricht den 3 Kuchenstücken. Für die 4 im Nenner steht der ganze Kuchen, der in 4 Stücke geteilt wurde.
| + | |
| − | Der Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen gemeint sind (3 Teile vom ganzen Kuchen).
| + | |
| − | Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufgeteilt wird (Ganzer Kuchen in 4 Teile).
| + | |
| − | <br />
| + | |
| − | [[File:2 Viertel gleich vier Achtel.png|thumb|2 Viertel = 4 Achtel]]
| + | |
| − | === Bruchzahl und Brüche ===
| + | |
| | | | |
| − | Für jede Bruchzahl gibt es unendlich viele Brüche. Das heißt, dass eine Bruchzahl mit unterschiedlichen Brüchen dargestellt werden kann. Trotzdem verändert sich der Wert der Brüche nicht! <br /><br />
| + | Mit den Bruchrechnungen beginnt man in der oberen Hälfte der Grundschule. Kompliziertere Bruchrechnungen folgen jedoch erst in höheren Schulstufen. Computer können dabei helfen. |
| − | | + | |
| − | Beispielsweise lässt sich ein Kuchen in 4 gleich große Teile zerlegen. Genauso kann der gleiche Kuchen aber auch in 8 gleich große Stücke zerlegt werden. Auf dem Abbild ist zu sehen, dass 2 Stücke von dem durch 4 geteilten Kuchen genau so groß sind, wie 4 Stücke von dem durch 8 geteilten Kuchen. Also zeigen die zwei verschiedenen Brüche "zwei Viertel" und "vier Achtel" den gleichen Kuchenanteil an.<br /><br />
| + | |
| − | | + | |
| − | Solche Brüche mit demselben Wert, die aber anders aussehen, können errechnet werden. Dies erfolgt durch Erweitern oder Kürzen (siehe Abschnitt). Die Bruchzahl ist immer der Bruch, der nicht mehr gekürzt werden kann.
| + | |
| − | Bruchzahl Brüche
| + | |
| − | <u>1</u> <sub>=</sub> <u>2</u> <sub>=</sub> <u>4</u> <sub>=</sub> <u>6</u> <sub>...</sub>
| + | |
| − | 2 4 8 12 <br />
| + | |
| − | [[File:Erweitern.png|thumb|Brüche erweitern]]
| + | |
| − | | + | |
| − | <br />
| + | |
| − | | + | |
| − | === Erweitern ===
| + | |
| − | | + | |
| − | Der Wert einer Bruchzahl ändert sich nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, also den Bruch erweitert. <br /><br />
| + | |
| − | | + | |
| − | Beispielsweise soll der Bruch zwei Viertel mit 3 erweitert werden. Dabei muss der Zähler mal 3 genommen werden und der Nenner ebenfalls mit 3 multipliziert werden. Das Ergebnis sechs Zwölftel hat den selben Wert wie zwei Viertel.
| + | |
| − | | + | |
| − | <br />[[File:Kürzen.png|thumb|Brüche kürzen]]
| + | |
| − | === Kürzen ===
| + | |
| − | Der Wert ändert sich auch nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert, also den Bruch kürzt.<br />
| + | |
| − | <br />
| + | |
| − | Im Beispiel wird der Bruch sechs Neuntel mit 3 gekürzt. Auch hier wird jeweils der Zähler durch 3 geteilt, genauso wie der Nenner durch 3 geteilt wird. Das Ergebnis zwei Drittel und der Bruch sechs Neuntel sind gleichwertig.<br />
| + | |
| − | <br />
| + | |
| − | <br />
| + | |
| − | <br />
| + | |
| − | | + | |
| − | == Rechnen mit Brüchen ==
| + | |
| − | [[File:Addieren.png|thumb|Brüche addieren]]
| + | |
| − | === Addieren ===
| + | |
| − | <br />
| + | |
| − | | + | |
| − | Damit Brüche addiert werden können, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden. ''Gleichnamig'' bedeutet, dass die Brüche denselben Nenner haben. Dafür müssen die Brüche so erweitert oder gekürzt werden, bis ihr Nenner gleich ist. <br />
| + | |
| − | Der einfachste Weg, Brüche gleichnamig zu machen ist, den einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs zu erweitern.
| + | |
| − | <br />
| + | |
| − | | + | |
| − | Beispielsweise sollen die Brüche fünf Achtel und ein Drittel addiert werden. Fünf Achtel wird mit 3 erweitert und ein Drittel wird mit 8 erweitert.
| + | |
| − | Erst wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, können die Zähler addiert werden. Achtung: Der Nenner bleibt gleich!<br />
| + | |
| − | [[File:Subtrahieren.png|thumb|Brüche Subtrahieren]]<br />
| + | |
| − | | + | |
| − | === Subtrahieren ===
| + | |
| − | <br />
| + | |
| − | | + | |
| − | Auch bei der Subtraktion müssen beide Brüche zunächst gleichnamig gemacht werden. Dies geschieht genau wie bei der Addition durch Erweitern oder Kürzen.<br />
| + | |
| − | Wenn die Nenner von beiden Brüchen gleich sind, werden die Zähler subtrahiert. <br />
| + | |
| − | Die Nenner bleiben ebenfalls gleich!<br />
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === Multiplizieren ===
| + | |
| − | | + | |
| − | Beim Multiplizieren von Brüchen müssen sie nicht erst gleichnamig gemacht werden. Hierbei werden jeweils die Zähler miteinander multipliziert (Zähler mal Zähler) und die Nenner miteinander multipliziert (Nenner mal Nenner).<br />
| + | |
| − | <gallery>
| + | |
| − | File:Multiplizieren.png
| + | |
| − | </gallery>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | === Dividieren ===
| + | |
| − | Brüche werden dividiert, indem mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird. Der Kehrwert eines Bruchs wird gebildet, indem Zähler und Nenner miteinander vertauscht werden. So ist der Kehrwert von sechs Fünftel dann fünf Sechstel. Danach werden die Brüche wie gewöhnlich multipliziert.
| + | |
| − | <gallery>
| + | |
| − | File:Br%C3%BCche_von_Division.png
| + | |
| − | </gallery>
| + | |
| | | | |
| | [[Kategorie:Artikelentwürfe]] | | [[Kategorie:Artikelentwürfe]] |
Bruchrechnung braucht man bei einer Teilung. Das ist nützlich, wenn etwas geteilt werden soll, was sich mit ganzen Zahlen nicht beschreiben lässt. Beispielsweise wenn es darum geht, einen Kuchen oder andere Dinge unter mehreren Menschen aufzuteilen.
Den Bruch ½ kann man sich so denken, dass 1 Kuchen auf 2 Menschen verteilt wurde. Man kann sich aber auch vorstellen, dass 1 Kuchen in 4 Teile zerschnitten wurde und 1 Mensch hat 2 Teile bekommen. Oder der Kuchen wurde in 8 Teile zerschnitten und 1 Mensch hat 4 Teile erhalten. Dies zeigt das untere Bild.
Den Bruch ¾ kann man sich auf zwei Arten denken: Entweder wurde 1 Kuchen in 4 Stücke aufgeteilt und ein Mensch hat davon drei Stücke bekommen. Oder 3 Kuchen wurden auf 4 Menschen aufgeteilt.
Einen Spezialfall bildet der Dezimalbruch. Er ist eigentlich ein Zehnerbruch. Das Ganze wurde also in 10, 100, 1000 oder in eine noch grössere Zehnerzahl aufgeteilt. ½ heisst als Dezimalbruch 0,5 (man schreibt manchmal auch 0.5). Ein halber Liter beispielsweise entspricht 5 Deziliter oder eben 0,5 Liter. So steht es auf den Petflaschen. ¾ sind dann 0,75 und so weiter.
Mit den Bruchrechnungen beginnt man in der oberen Hälfte der Grundschule. Kompliziertere Bruchrechnungen folgen jedoch erst in höheren Schulstufen. Computer können dabei helfen.
