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Grundrechenarten
In der Mathematik gibt es vier Grundrechenarten: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Man spricht auch vom Zusammenzählen, Abziehen, Malnehmen und Teilen.
Das sind die einfachsten Rechen-Übungen, die man mit Zahlen anstellen kann. Alles andere in der Mathematik baut darauf auf. Deshalb lernt man sie auch schon in den ersten Jahren der Grundschule.
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Addition
Das Addieren nennt man auch Zusammenzählen. Dabei zählt man eine Zahl zu einer anderen hinzu. Das Rechenzeichen dafür ist das Plus, das als + aufgeschrieben wird. Dieses Zeichen hat sich der Mathematiker Johannes Widmann im Jahr 1489 ausgedacht.
Fügt man zu drei Dingen zwei hinzu, hat man fünf Dinge. Man schreibt 3 + 2 = 5, gesprochen: Drei plus Zwei ergibt Fünf. Das Ergebnis der Addition nennt man Summe. Die beiden Zahlen, die addiert werden, heißen Summanden.
Subtraktion
Das Gegenteil der Addition ist die Subtraktion. Dabei zieht man von einer Zahl eine andere ab. Das Rechenzeichen dafür ist das Minus, das als - aufgeschrieben wird. Auch dieses Zeichen ist von Johannes Widmann.
Nimmt man von 10 Dingen zwei weg, bleiben acht übrig. Man schreibt: 10 - 2 = 8, gesprochen: Zehn minus Zwei ergibt Acht. Die Zahl, von der etwas abgezogen wird, heißt Minuend. Das ist lateinisch und heißt „der zu verringernde“. Die Zahl, die abgezogen wird, heißt Subtrahend, „der abzuziehende“. Das Ergebnis einer Subtraktion nennt man Differenz.
Ein praktisches Beispiel, bei dem man subtrahieren muss: Man möchte ein Brötchen kaufen, das kostet 1 Euro. Man hat 3 Euro im Portemonnaie. Man rechnet also: 3 - 1 = 2. Nachdem man das Brötchen gekauft hat, hat man noch 2 Euro übrig.
Multiplikation
Bei der Multiplikation nimmt man zwei Zahlen miteinander „mal“. Als Rechenzeichen schreibt man einen Punkt: · Weil man den aber auf dem Bildschirm oder der Tastatur nicht so gut sieht, nimmt man dort lieber ein Kreuz: ×
Multiplikation ist eine Art, Zahlen, die man immer mit sich selbst addieren würde, kürzer aufzuschreiben. Dazu ein Beispiel: man möchte 3+3+3+3 rechnen. Dies kann man vereinfacht auch als 4 × 3 schreiben (gesprochen: vier mal drei), da man vier mal die Zahl drei mit sich selbst addiert. Zahlen, die man miteinander multipliziert, werden Faktoren genannt, das Ergebnis heißt Produkt.
Division
Das Gegenteil der Multiplikation ist die Division oder das Teilen. Dabei teilt man eine Zahl durch eine andere. Man hat zum Beispiel drei Äpfel, die man auf drei Freunde aufteilen will: Jeder bekommt einen Apfel. Das Rechenzeichen ist der Doppelpunkt : Auf Taschenrechnern und Computern findet man ihn oft mit einem Strich dazwischen ÷ Die zu teilende Zahl heißt Dividend, sie wird durch den Divisor geteilt. Das Ergebnis heißt Quotient.
Teilbarkeit
Eine ganze Zahl ist dann durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Rechnung kein Rest übrig bleibt, d.h. das Ergebnis eine ganze Zahl ergibt. Dies nennt man Teilbarkeit. Um die Teilbarkeit einer Zahl zu überprüfen, gibt es bestimmte Regeln, die einem das Rechnen erleichtern. Zur besseren Übersicht sind diese Regeln hier nach Endstellen- und Quersummenregeln geordnet.
Teilbarkeitsregeln
1 → Jede Zahl ist durch 1 teilbar.
Endstellenregeln:
2 → Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl 0 oder gerade (d.h. 2, 4, 6, 8) ist.
Beispiel: 236
4 → Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.
Beispiel: 316
16 : 4 = 4, also ist 316 durch 4 teilbar
5 → Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 5 oder eine 0 ist.
Beispiel: 745 oder 860
8 → Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar sind.
Beispiel: 3264
264 : 8 = 33, also ist 3264 durch 8 teilbar
10 → Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.
Beispiel: 10670
Quersummenregeln:
3 → Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Die Quersumme erhält man, indem man die einzelnen Ziffern einer Zahl miteinander addiert.
Beispiel: 264
Quersumme: 2 + 6 + 4 = 12
12 ist durch 3 teilbar, das heißt 264 ist auch durch 3 teilbar.
9 → Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. Die Quersumme erhält man, indem man die einzelnen Ziffern einer Zahl miteinander addiert.
Beispiel: 5571
Quersumme: 5 + 5 + 7 + 1 = 18
18 ist durch 9 teilbar, das heißt 5571 ist auch durch 9 teilbar.
11 → Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme entweder 0 ergibt oder ein Vielfaches von 11 (also 22, 33, 44, usw.) ist. Die alternierende Quersumme erhält man, indem abwechselnd die Ziffern einer Zahl addiert und subtrahiert werden. Am einfachsten ist es, wenn die 1., 3., 5., usw. Stelle addiert wird und von diesem Ergebnis die Summe der 2., 4., 6., usw. Stelle subtrahiert.
Beispiel: 84920
8 + 9 + 0 = 17
4 + 2 = 6
17 – 6 = 11
11 ist ein Vielfaches von 11, daher ist 84920 durch 11 teilbar.
Anwendung beider Regeln (Endstellenregel & Quersummenregel):
6 → Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn die Zahl durch 2 UND durch 3 teilbar ist. Hier werden also die Teilbarkeitsregeln der Zahlen 2 und 3 angewendet.
Beispiel: 216
- für die Zahl 2: Die Endstelle 6 ist gerade.
- für die Zahl 3: Die Quersumme (2 + 1 + 6) aus 216 ist 9, 9 ist durch 3 teilbar.
Also ist 216 durch 6 teilbar.
Sonderregel:
7 → Die Zahl 7 ist ein Sonderfall in den Teilbarkeitsregeln. Es gibt mehrere Regeln. Hier wird eine dieser Regeln vorgestellt: Nimm von deiner Zahl die letzte Ziffer weg. Multipliziere diese mit 2. Subtrahiere dieses Ergebnis von den restlichen Ziffern der ursprünglichen Zahl. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, dann ist auch die komplette Zahl durch 7 teilbar.
Beispiel: 378
2 x 8 = 16
37 – 16 = 21
21 ist durch 3 teilbar, das heißt 387 ist auch durch 7 teilbar.
