Teilbarkeit

Teilbarkeit

Eine ganze Zahl ist dann durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Rechnung kein Rest übrig bleibt, d.h. das Ergebnis eine ganze Zahl ergibt. Dies nennt man Teilbarkeit. Um die Teilbarkeit einer Zahl zu überprüfen, gibt es bestimmte Regeln, die einem das Rechnen erleichtern. Zur besseren Übersicht sind diese Regeln hier nach Endstellen- und Quersummenregeln geordnet.

Teilbarkeitsregeln

1 → Jede Zahl ist durch 1 teilbar.

Endstellenregeln:

2 → Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl 0 oder gerade (d.h. 2, 4, 6, 8) ist.

       Beispiel: 236

4 → Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.

       Beispiel: 316
       16 : 4 = 4, also ist 316 durch 4 teilbar.

5 → Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 5 oder eine 0 ist.

       Beispiel: 745 oder 860

8 → Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar sind.

       Beispiel: 3264
       264 : 8 = 33, also ist 3264 durch 8 teilbar.

10 → Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.

       Beispiel: 10670

Quersummenregeln:

3 → Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Die Quersumme erhält man, indem man die einzelnen Ziffern einer Zahl miteinander addiert.

       Beispiel: 264
       Quersumme: 2 + 6 + 4 = 12
       12 ist durch 3 teilbar, das bedeutet 264 ist auch durch 3 teilbar.

9 → Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. Die Quersumme erhält man, indem man die einzelnen Ziffern einer Zahl miteinander addiert.

       Beispiel: 5571
       Quersumme: 5 + 5 + 7 + 1 = 18
       18 ist durch 9 teilbar, das bedeutet 5571 ist auch durch 9 teilbar.

11 → Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme entweder 0 ergibt oder ein Vielfaches von 11 (also 22, 33, 44, usw.) ist. Die alternierende Quersumme erhält man, indem abwechselnd die Ziffern einer Zahl addiert und subtrahiert werden. Am einfachsten ist es, wenn die 1., 3., 5., usw. Stelle addiert wird und von diesem Ergebnis die Summe der 2., 4., 6., usw. Stelle subtrahiert.

       Beispiel: 84920
       8 + 9 + 0 = 17
       4 + 2 = 6
       17 – 6 = 11
       11 ist ein Vielfaches von 11, daher ist 84920 durch 11 teilbar.

Anwendung beider Regeln (Endstellenregel & Quersummenregel):

6 → Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn die Zahl durch 2 UND durch 3 teilbar ist. Hier werden also die Teilbarkeitsregeln der Zahlen 2 und 3 angewendet.

       Beispiel: 216
       - für die Zahl 2: Die Endstelle 6 ist gerade.
       - für die Zahl 3: Die Quersumme (2 + 1 + 6) aus 216 ist 9, 9 ist durch 3 teilbar.
       Also ist 216 durch 6 teilbar.

Sonderregel:

7 → Die Zahl 7 ist ein Sonderfall in den Teilbarkeitsregeln. Es gibt mehrere Regeln. Hier wird eine dieser Regeln vorgestellt: Nimm von deiner Zahl die letzte Ziffer weg. Multipliziere diese mit 2. Subtrahiere dieses Ergebnis von den restlichen Ziffern der ursprünglichen Zahl. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, dann ist auch die komplette Zahl durch 7 teilbar.

       Beispiel: 378
       2 x 8  = 16
       37 – 16 = 21
       21 ist durch 3 teilbar, das bedeutet 387 ist auch durch 7 teilbar.